Sadržaj predmeta

Diferencijalna geometrija

Šifra:

93561

Kratica:

B23A02

Visoko učilište:

Geodetski fakultet

ECTS bodovi:

5.0

Opterećenje:

30(V) + 30(P)

Nositelji:

doc. dr. sc. Iva Kodrnja

Izvođači:

mr. sc. Željka Tutek, v. pred. (V)

doc. dr. sc. Iva Kodrnja (P)

Opis predmeta:

Prepoznati stečene matematičko-numeričke vještine geometrije krivulja i ploha u području studiranja. Upotrijebiti stečene matematičko-numeričke vještine geometrije krivulja i ploha na rješavanje problema u području studiranja. Ishodi učenja na razini programa kojima predmet pridonosi <ul><li>Razumjeti matematičke metode koje se primjenjuju u geodeziji i geoinformatici. <li>Primijeniti znanja matematike u prepoznavanju, formuliranju i rješavanju problema iz područja geodezije i geoinformatike <li>Upotrebljavati informatičku tehnologiju u rješavanju geodetskih i geoinformatičkih zadataka. <li>Donositi zaključke na temelju obavljene računske obrade i interpretacije podataka geodetskih izmjera i dobivenih rezultata. <li>Planirati nastavak akademskog obrazovanja u području geodezije i geoinformatike ili srodnih disciplina, te razviti kulturu cijeloživotnog i stručnog obrazovanja.</ul> Očekivani ishodi učenja na razini predmeta <ul><li>Identificirati razne oblike jednadžbe krivulje, izračunati duljinu luka krivulje, zakrivljenost/i krivulje u ravnini i prostoru te odrediti prateća vektorska polja; <li>Analizirati plohe drugog reda trodimenzionalnog Euklidskog prostora s naglaskom na sferu i rotacioni elipsoid: odrediti koordinatne krivulje plohe, tangencijalnu ravninu i normalu plohe; <li>Odrediti prvu fundamentalnu formu plohe te na konkretnim primjerima primijeniti za izračunavanje duljine luka krivulje na plohi, kuta između dviju krivulja na plohi i površine omeđenog dijela plohe; <li>Odrediti drugu fundamentalnu formu plohe te na konkretnim primjerima primijeniti za klasifikaciju točaka na plohi, izračunavanje normalne, glavne, Gaussove i srednje zakrivljenosti plohe; <li>Odrediti specijalne krivulje na plohi (krivulje zakrivljenosti, asimptotske krivulje); <li>definirati pojam geodetske zakrivljenosti krivulje na plohi i pojam geodetske linije te izračunati geodetsku zakrivljenost koordinatnih krivulja plohe kako bi se moglo prepoznati radi li se o geodetskoj mreži; <li>Izreći Gaussov Theorema Egregium; <li>Razlikovati i imenovati vrste preslikavanja ploha prema invarijantama preslikavanja; <li>Koristiti razne alate za vizualizaciju i rješavanje zadataka vezano za teoriju krivulja i ploha.</ul> Sadržaj predmeta detaljno razrađen prema satnici nastave <ul><li>Osnovni pojmovi vektorske algebre i neki važniji pojmovi vektorske analize. 1h <li>Zadavanje i jednadžba krivulje. 1h <li>Duljina luka i pojam reparametrizacije krivulje. 2h <li>Frenetov trobrid. Zakrivljenosti krivulje (fleksija i torzija). Frenet-Serretove formule. 2h <li>Plohe: jednadžba, karta, parametrizacija, u- i v- krivulje. 2h <li>Plohe: krivulje na plohi, tangencijalna ravnina i normala plohe. 2h <li>Ponavljanje gradiva. 1h <li>1. kolokvij 1h <li>Prva diferencijalna forma plohe i primjene (duljina luka krivulje na plohi, kut između dvije krivulje na plohi, površina omeđenog <li>dijela plohe). 2h <li>Druga diferencijalna forma plohe i primjene (normalna zakrivljenost plohe, vrste točaka na plohi). 2h <li>Asimptotski i glavni smjerovi i linije. Glavne, Gaussova i srednja zakrivljenost plohe. 2h <li>Eulerov poučak i Dupinova indikatrisa. 1h <li>Derivacione formule i Christoffelovi simboli. Osnovni teoremi teorije ploha. 2h <li>Ponavljanje gradiva. 1h <li>2. kolokvij 1h <li>Geodetske linije (geodetska zakrivljenost, geodetske krivulje). 2h <li>Geodetske linije (diferencijalna jednadžba geodetskih linija, geodetske koordinate). 1h <li>Preslikavanje ploha. (stereografska projekcija, Merkatorova projekcija) 2h <li>Ponavljanje gradiva. 1h <li>Završna provjera znanja. 1h</ul> Praćenje rada studenata <ul><li>Samostalni zadaci - 15% ECTS-a <li>Interaktivni zadaci - 5% ECTS-a <li>Kolokviji - 80% ECTS-a <li>Pismeni ispit (ukoliko predmet nije položen putem kolokvija) - 100% ECTS-a</ul>

Obavezna literatura:

1. Beban Brkić, J.: Diferencijalna geometrija, Interna skripta, dostupna na e-učenju

2. Žarinac-Frančula, B.: Diferencijalna geometrija, Zbirka zadataka i repetitorij. Školska knjiga, Zagreb 1990.

Preporučena literatura:

3. Lipschutz, M. M.: Differential Geometry, Schaum's Outline Series, McGraw-Hill Book Company, N. Y. 1969.

4. Gray, A.: Modern Differential Geometry of Curver and Surfaces With Mathematica, CRS Press, Boston, London, 1998.

Ishodi učenja:

1. Identificirati razne oblike jednadžbe krivulje, izračunati duljinu luka krivulje, zakrivljenost/i krivulje u ravnini i prostoru te odrediti prateća vektorska polja.

2. Analizirati plohe drugog reda trodimenzionalnog Euklidskog prostora s naglaskom na sferu i rotacioni elipsoid: odrediti koordinatne krivulje plohe, tangencijalnu ravninu i normalu plohe.

3. Odrediti prvu fundamentalnu formu plohe te na konkretnim primjerima primijeniti za izračunavanje duljine luka krivulje na plohi, kuta između dviju krivulja na plohi i površine omeđenog dijela plohe.

4. Odrediti drugu fundamentalnu formu plohe te na konkretnim primjerima primijeniti za klasifikaciju točaka na plohi, izračunavanje normalne, glavne, Gaussove i srednje zakrivljenosti plohe.

5. Odrediti specijalne krivulje na plohi (krivulje zakrivljenosti, asimptotske krivulje.

6. Definirati pojam geodetske zakrivljenosti krivulje na plohi i pojam geodetske linije te izračunati geodetsku zakrivljenost koordinatnih krivulja plohe kako bi se moglo prepoznati radi li se o geodetskoj mreži.

7. Izreći Gaussov Theorema Egregium.

8. Razlikovati i imenovati vrste preslikavanja ploha prema invarijantama preslikavanja.

9. Koristiti razne alate za vizualizaciju i rješavanje zadataka vezano za teoriju krivulja i ploha.

Preduvjeti za upis predmeta:

Analitička geometrija i linearna algebra (položen)

Matematička analiza (položen)

Vektorska analiza (odslušan)

Legenda

P - Predavanja

V - Vježbe